12. Loi de probabilité continue (avec intégrale)

I. La densité f(x) est de la forme :

" x Î[-1, 1]	f(x) = k x^2
" x Ï [-1, 1]	f(x) = 0

1) On détermine la constante k de façon que l’intégrale de - ¥ à + ¥ de la fonction f soit égale à 1. On limite l’intégrale à l’intervalle ]-1, +1[ puisque la fonction est nulle en-dehors, et par suite :

Une primitive de x² est x³ / 3. On en déduit :

[k x³ / 3]_-1⁺¹ = k / 3 + k / 3 = 2k / 3 = 1

Soit :

k = 3 / 2

2) La moyenne et la variance théoriques de cette v.a. sont par définition :

m	= ò x f(x) dx = ò k x^3 dx
	= [k x^4 / 4]-1^+1 = 0
s^2	= ò (x - m)^2 f(x) dx = ò k x^4 dx
	= [k x^5 / 5]-1^+1 = 2 k / 5 = 3 / 5

m = 0

s^2 = 3 / 5

3) On calcule la fonction de répartition F dela v.a.X : on sait que cette f.d.r. est une primitive de la densité f, et donc :

" x Î[-1, 1] F(x) = x³ / 2 + K

La constante K est choisie de façon que F(-1)=0 et F(1)=1. On obtient K=1 / 2. La f.d.r. est finalement définie par :

" x Î[-1, 1]	F(x) = x^3 / 2 + 1 / 2
" x £-1	F(x) = 0
" x ³ 1	F(x) = 1

La médiane vérifie l’équation :

F(mé)	=	1 / 2
x^3 / 2 +1 / 2	=	1 / 2

On en déduit évidemment :

mé = 0

Le quartile q₁ est obtenu en résolvant l’équation :

F(q1)	=	1 / 4
x^3 / 2 +1 / 2	=	1 / 4
x^3 / 2	=	– 1 / 4
x^3	=	– 1 / 2
x	=	– 1 / 2^1 / 3

q₁ = – 0.693

Le quartile q₃ est obtenu en résolvant l’équation :

F(q3)	=	3 / 4
x^3 / 2 +1 / 2	=	3 / 4
x^3 / 2	=	1 / 4
x^3	=	1 / 2
x	=	1 / 2^1 / 3

q₃ = 0.693

4) Les probabilités demandées s’expriment de la façon suivante :

P(XÎ[-1, -3 / 4] )	= F(-3 / 4)
P(XÎ[-3 / 4, -1 / 2] )	= F(-1 / 2) - F(-3 / 4)
P(XÎ[-1 / 2, -1 / 4] )	= F(-1 / 4) - F(-1 / 2)
P(XÎ[-1 / 4, 0] )	= F(-1 / 4) - F(0)

On a :

F(-3 / 4) = -27 / 128 + 1 / 2 = 37 / 128

F(-1 / 2) = – 1 / 16 + 1 / 2 = 7 / 16

F(-1 / 4) = – 1 / 128 + 1 / 2 = 63 / 128

F(0) = 1 / 2.

On en déduit :

P(XÎ[-1, -3 / 4] )	= 0.2890625
P(XÎ[-3 / 4, -1 / 2] )	= 0.1484375
P(XÎ[-1 / 2, -1 / 4] )	= 0.0546875
P(XÎ[-1 / 4, 0] )	= 0.0078125

La densité est une fonction symétrique, et les probabilités demandées ensuite sont les mêmes que ci-dessus :

P(XÎ[0, 1 / 4 ] )	= 0.0078125
P(XÎ[1 / 4, 1 / 2] )	= 0.0546875
P(XÎ[1 / 2, 3 / 4] )	= 0.1484375
P(XÎ[3 / 4, 1] )	= 0.2890625